Dossiers : Thèmes
La perspective
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Vous pouvez également consulter ici un bref historique des modes de représentation en perspective.
Qu'est-ce que la perspective ? Voici la définition qu'en donne mon dictionnaire :
C'est l'art de représenter les objets en trois dimensions sur une surface plane, en tenant compte des effets de l'éloignement et de leur position dans l'espace par rapport à l'observateur.
Cette définition, convenable en première lecture, demande à être précisée sur plusieurs points. Ainsi doit on ajouter que les représentations en question doivent donner à l'observateur, autant que faire se peut, l'illusion de la réalité, du point de vue des formes et des proportions et indépendamment des couleurs.
Pour apprécier ce plus ou moins grand degré d'illusion (nous parlerons de conformité de la représentation) nous devrons donc comparer l'image perçue par l'œil de la représentation avec l'image de l'objet réel.
Secondement, il n'est pas nécessaire, comme nous le verrons, que la représentation ait pour support une surface plane.
Mais tout d'abord, décrivons schématiquement le fonctionnement de l'œil, d'un point de vue purement mécanique :
L'œil est assimilable à une sphère percée par un trou ponctuel, la pupille, au fond duquel une calotte sphérique, la rétine, est sensible à la lumière. L'image d'un point A de l'espace, quand elle existe, est le point A', situé à la sur face de la rétine et tel que A, P et A' sont alignés.
Ainsi l'image d'un segment [AB] est un arc de cercle [A'B'] à la surface de la rétine (l'image est renversée mais nous sommes habitués depuis tout petit ! ).
Les points possédant une image sont situés dans un cône de sommet P :
calculez l'angle d'ouverture de ce cône (angle entre l'axe du cône et une génératrice) en fonction du rapport de la distance séparant le plan délimitant la rétine et le centre de l'œil au rayon de l'œil.
Pour un angle d'ouverture de 25° et un œil de rayon 1,2 cm, calculez le diamètre du cercle intersection de l'œil avec le plan délimitant la rétine.
Le champ ou cône de vision de l'œil est l'intérieur du cône géométrique délimitant la portion de l'espace où nous sommes susceptible de voir un objet qui y est placé si ses dimensions sont suffisantes, l'œil étant fixe.
Pour la suite nous considérerons que ce cône est un cône de révolution, c'est-à-dire qu'il peut-être engendré par la rotation d'une droite autour d'un axe : rassurez vous car c'est ainsi un cône tout bête !
Cherchez dans une encyclopédie, un dictionnaire ou tout autre support, la valeur moyenne de l'ouverture de ce cône chez l'être humain et comparez la à celle d'un rapace nocturne quelconque.
Il ne suffit pas qu'un objet soit situé dans le champ de vision pour qu'il puisse être vu, encore faut il que sa dimension apparente soient suffisante.
La dimension apparente d'un objet est, dit rapidement, l'angle maximal entre deux points de l'objet et la pupille et dépend donc de la distance de cet objet à la pupille autant que de ses dimensions réelles. Ainsi, sur la figure suivante vous pouvez voir deux triangles de dimensions différentes et de dimension apparente égales pour l'œil représenté :
On appelle pouvoir séparateur de l'œil l'angle minimal séparant deux points pour que l'œil puisse les distinguer : c'est aussi la dimension apparente minimale pour qu'un objet soit visible.
Cherchez dans une encyclopédie, un dictionnaire ou tout autre support, la valeur du pouvoir séparateur de l'œil humain et de celle d'un rapace (celui que vous voulez).
On se place dans un plan contenant la pupille d'un œil humain et deux points extrêmes A et B d'un objet contenus dans le cône de vision de cet œil, plan rapporté à un repère orthonormé centré sur la pupille. A a pour coordonnées 1000 et 0, et B pour coordonnées 1005 et 5 (l'unité est le mètre).
Déterminez la dimension apparente de cet objet en degré.
Cet objet est il visible.
A une distance de 1000 mètre, on place un panneau carré vertical : quel doit être sa dimension minimale pour qu'il soit visible ?
Nous allons parler maintenant de la perspective cavalière, la première et la seule qu'on vous ait jamais présentée en cours de mathématiques.
Dessinez un cube en perspective cavalière de la manière habituelle. Quand vous regardez un cube de telle façon que sa face avant vous apparaisse comme un carré, pouvez vous voir l’une des faces latérales ?
Ainsi, vous constatez que la représentation en perspective cavalière n’est pas conforme à notre vision naturelle des objets.
Son intérêt réside en ce que, selon une direction donnée, les rapports de longueur sont conservés. C’est-à-dire, notamment, qu’étant donné deux points A et B d’un solide S, d’images A’ et B’ en perspective cavalière, l’image I’ du milieu I du segment [AB] est le milieu de [A’B’].
Lorsque vous utilisez la perspective cavalière vous ne vous posez pas de questions dans la mesure où vous ne réalisez que des schémas en vue de soutenir un raisonnement. Pourtant, celle-ci obéit à des règles de construction précises qu'il convient de respecter dans la réalisation d'un dessin technique par exemple.
Pour réaliser une représentation en perspective cavalière d’un solide S, on commence par se donner :
On considère alors le solide imaginaire S’ représentant S à l’échelle X. Puis on amène mentalement le plan P de la feuille en coïncidence avec un point O du solide S’ (généralement un sommet, s’il en possède), de telle manière que S’ soit tout entier situé d’un côté de P.
Pour trouver l’image M’’ d’un point M’ du solide S’ sur le plan P on commence par projeter M’ orthogonalement sur P en M’1. Du point M’1, on mène la droite de P parallèle à la direction de fuite et on reporte sur cette droite la distance M’M’1 multipliée par le rapport de fuite, dans le sens choisi au début : on obtient alors le point M’’. Pour un solide S dont les arêtes sont rectilignes, on se contente de construire les images des sommets que l’on joint les unes aux autres par des portions de droite.
On dit alors qu’on a réalisé une perspective cavalière de S d’angle A, de rapport k, à l’échelle X.
On considère un parallélépipède rectangle de dimensions 30 ´ 40 ´ 50 mm
Réalisez rigoureusement une représentation de ce solide selon les perspectives suivantes :
On positionnera le plan de représentation de manière à ce qu'il englobe une des faces du solide.
Elle est très simple à réaliser pour les solides usuels délimités par des faces planes.
On peut mesurer et calculer simplement des dimensions réelles à partir d'un dessin.
Elle n'est pas conforme et de ce fait ne conduit pas à des représentations agréables à l'œil, ce qui la disqualifie pour des usages où l'esthétique de la représentation compte (présentation de projets architecturaux).
La perspective centrale est la perspective des peintres, dont la découverte transportera d'enthousiasme les peintres de la renaissance.
Pour réaliser la représentation d’un solide S en perspective centrale, on considère :
Pour construire l'image d'un point M du solide on le relie à O par une droite : l’intersection de la droite (OM) et de P donne cette image M'. Pour un solide délimité par des faces planes à arêtes rectilignes, il suffit de construire les images des sommets et de relier les images obtenues.
Démontrez que les images de trois points alignés sont aussi des points alignés et signalez un cas particulier.
Si l'on n'oblige pas les points dont on prend les images à être de l'autre côté de P par rapport à O, montrez que l'image d'une droite est alors soit :
Explorez vous mêmes les cas de figure correspondant à des droites parallèles ou sécantes dans les cas où on se limite ou non à la partie de la droite qui est située de l'autre côté de P par rapport à O (on ne de mande pas de démonstration ici mais des schémas avec des explications).
Celle-ci est relativement conforme à notre vision des objets pourvu que nous n’observions pas l’image d’un point trop éloigné du centre de perspective, auquel cas l’image ne correspond plus au point de vue : c'est bien pour cela que l'on se place en face d'un tableau pour le regarder.
Il faut également que l’angle de vision de l’objet ne soit pas trop grand : objet situé à l'intérieur du champ de vision d'un œil humain situé en O.
1er inconvénient :
On se place dans un plan Q, perpendiculaire au plan image P contenant O. La trace du plan P est matérialisée par une droite D, située à une distance d de O, d = 5 cm. On considère alors une allumette [AB] contenue dans Q, non parallèle à D et son image [A’B’] sur D par la perspective de centre O. Que pouvez vous dire de l’image I’ du milieu I de [AB] ? Vous ferez un schéma dans le plan OAB.
De manière générale, en perspective centrale, les rapports de longueur ne sont pas conservés entre le solide et son image. Une représentation en perspective centrale ne se prête donc pas au relevé de cote sur plan.
2ème inconvénient :
Il existe bien sur des méthodes de construction d’un solide en perspective centrale mais elles sont assez délicates à mettre en œuvre pour qui n'est pas familier avec la géométrie descriptive et/ou le dessin technique et sa terminologie (je ne les décrirai donc pas ici : reportez vous à des ouvrages spécialisés si vous souhaitez en savoir plus)
Cette difficulté d'exécution découle du 1er inconvénient.
Lorsque le point d'observation est rejeté à l'infini dans la perspective centrale, on obtient la projection orthogonale sur le plan P, encore appelée perspective parallèle. Elle n'est bien sur pas conforme.
Sinon, on peut remplacer le plan de projection de la perspective centrale par une surface quelconque : une calotte sphérique ou une portion de cylindre sont les plus utilisées. On parle alors de projection sphérique ou cylindrique. Ce sont là des projections conformes, moyennant les mêmes restrictions que pour la perspective centrale classique.
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| Gilles Josse : Lycée La Pleïade - Pont de Cheruy (38) / imel@ac-grenoble.fr / 28 septembre 1998 |