Solution

Parallèlogramme dans un tétraèdre
Solution de l'exercice

Méthode 1 (utilisant le théorème des milieux)

Dans le triangle BCD : J est le milieu de [BC] et K est le milieu de [CD]. D'après le théorème des milieux, (JK) est parallèle à (BD) et JK = 1/2.BD

Dans le triangle ABD : I est le milieu de [AB] et L est le milieu de [AD]. D'après le théorème des milieux, (IL) est parallèle à (BD) et IL = 1/2.BD

Par conséquent, les côtés [JK] et [IL] sont parallèles et de même longueur.

Le quadrilatère IJKL est donc un parallélogramme

Méthode 2 (utilisant un repère)

Plaçons nous dans le repère : R(D ;  ;  ; ). Dans ce repère, les points I, J, K et L ont pour coordonnées :

I(1/2 ; 0 ; 1/2) - L(1/2 ; 0 ; 0) - J(0 ; 1/2 ; 1/2) - K(0 ; 1/2 ; 0)

Par conséquent :    et    sont égaux

Le quadrilatère IJKL est donc un parallélogramme