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Année 2009
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Maths 2 : Euler et les ponts de Königsberg |
Critères :
- Raisonnement
- Expérimentation
- Communication
Léonard Euler est un mathématicien européen. Mais qui était–il ? Quels résultats mathématiques lui sont attribués ?
Au 18ème siècle, la ville de Königsberg comprenait deux îles et sept ponts.
L'histoire veut que Léonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu à résoudre le problème suivant :
« Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des sept ponts de la ville? »
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1- Où se situe la ville actuelle de Königsberg ?
Pour pouvoir répondre à ce problème, on va d'abord regarder des schématisations de villes comportant quatre quartiers appelés a, b, c et d.
Dans les modélisations de ces villes, les points représentent des quartiers et les traits des ponts qui les relient.
2- Pour chacune des quatre villes suivantes, peut-on faire un circuit, partir d'un quartier pour y revenir, en passant une et une seule fois sur chaque pont ? Attention, on ne nage pas !
Vous détaillerez vos essais et exprimerez votre démarche.
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n° 1 |
n° 2 |
n° 3 |
n° 4 |
3- Une des quatre modélisations précédentes est celle du problème de Königsberg.
Laquelle est-ce ? Vous justifierez votre choix.
Pouvez-vous alors répondre à la question posée à Euler ?
4- Enoncer une règle simple sur le nombre de ponts qui permette de répondre immédiatement au problème du circuit.
Les modélisations précédentes sont la base de la Théorie des Graphes, initiée par Euler.
Citer deux applications actuelles de cette théorie.