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Articles parus dans le numéro 51 de Grand N
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Hervé PEAULT Professeur de mathématiques IUFM des Pays de Loire - centre d'Angers

LE PRINCIPE DU RALLYE

9 juin 1992 : les élèves de 20 classes du département de Maine-et-Loire, primaire et collège, sont rassemblés au centre IUFM d'Angers pour la finale du Rallye Mathématique.

Le principe de cette finale est le même que celui des deux épreuves de qualification qui se sont déroulées en janvier et mars et auxquelles ont participé 310 classes représentant plus de 7000 élèves du département :

Tous les enfants d'une même classe sont réunis dans une salle et disposent d'une heure pour résoudre une série de 10 problèmes. Ils peuvent utiliser tous les documents et matériels qu'ils veulent mais ne doivent recevoir aucune aide ni de leur enseignant ni de qui que ce soit.

Chaque problème est affecté d'un certains nombre de points et le score de chaque classe s'obtient en additionnant les points des problèmes dont la solution donnée est correcte.

Il n'y a qu'un seul bulletin-réponse pour toute la classe.

Les enfants vont donc devoir s'organiser, se répartir le travail, chercher les problèmes et s'entendre sur les solutions à retenir.

Comme lors des qualifications, les classes finalistes sont réparties en 7 catégories avec 5 épreuves différentes : CE₂, CM₁, CM₂, Perfectionnement, Sixième, Cinquième et SES.

 

LES IDEES DIRECTRICES

Il existe en France de nombreux championnats, concours, rallyes, portant sur les mathématiques. Il s'agit souvent d'épreuves individuelles, mais l'idée de compétitions collectives commence à se développer. Il est cependant assez rare qu'elles s'adressent à des élèves des classes primaires.

Lancé en 89-90, le rallye mathématique de Maine-et-Loire est une compétition mathématique par classes entières s'adressant au départ aux classes des écoles primaires. Réservé la première année aux classes de CM, il s'est étendu dès l'année suivante aux catégories citées plus haut.

Les idées directrices en sont les suivantes :

• il s'agit d'abord, pour les élèves, de faire des mathématiques en résolvant des problèmes , dans un contexte sans doute inhabituel mais plaisant.

• c'est ensuite la valorisation du travail en équipe : on espère que les élèves se rendent compte que, même si on peut chercher seul, il est souvent plus efficace de chercher à plusieurs.

• c'est encore une occasion d'apprendre à s'organiser collectivement puisque toute la classe est concernée : comment va-t-on se répartir le travail ? comment va-t-on recenser les diverses propositions ? comment va-t-on trancher ? comment faire pour ne pas se laisser déborder par le temps ?

• c'est aussi, par la nécessité de fournir une seule réponse pour toute la classe, une incitation au débat mathématique : faire des maths, c'est chercher des solutions à des problèmes, mais c'est aussi s'accorder sur ces solutions ; pour cela il faut prouver, argumenter, débattre, vérifier et faire vérifier, chercher à convaincre, s'engager sur la vérité des affirmations qu'on avance, ne pas accepter celles des autres a priori.

• et puis enfin, il s'agit d'impliquer tous les élèves de façon que chacun puisse y trouver son compte :

• d'une part à l'intérieur de la classe : les dix problèmes proposés sont de difficultés variées ; chaque élève, quel que soit son niveau, doit pouvoir en trouver à sa portée. En même temps, la tâche est suffisamment lourde pour nécessiter la participation du plus grand nombre.

• d'autre part au niveau des classes : aucune classe n'est a priori exclue. Bien plus, les élèves des classes de perfectionnement en primaire ou de SES en collège, habituellement absents des compétitions mathématiques, ont accès au rallye et concourent les uns et les autres dans une catégorie propre.

La détermination de ces catégories a été une difficulté, compte-tenu de l'existence de nombreuses classes à plusieurs niveaux en primaire ; nous avons dû définir une règle selon laquelle chaque classe concourt dans la catégorie correspondant au niveau le plus élevé dès lors que ce niveau comprend au moins cinq élèves. C'est ainsi que les classes de CE₂ -CM₁-CM₂ par exemple ont pu concourir suivant les cas en catégorie CE₂, CM₁ ou CM₂ ; ceci n'a pas constitué un inconvénient majeur mais nous serons peut-être amenés à revoir la formule.

 

LE CHOIX DES PROBLEMES

Nous avons hésité, au départ, sur le type de réponse à demander pour chaque problème. Pouvait-on se contenter d'une réponse brute, numérique ou non, ou fallait-il exiger une rédaction justifiant cette réponse ? Sans que ce choix soit forcément définitif, nous avons finalement opté pour la première solution, pensant que si les élèves étaient débarrassés du travail de rédaction, ils auraient davantage le temps de s'investir dans le débat et la confrontation de leurs solutions respectives.

Simplement, nous nous sommes efforcés de varier les énoncés en fonction du type de validation qu'ils nécessitent :

•  Les solutions de certains énoncés se valident quasi immédiatement ou par un calcul élémentaire (c'est le cas par exemple de problèmes portant sur la reconstitution de calculs).

• Dans d'autres cas, il faut reprendre l'énoncé et confronter la solution présumée à chacun des éléments du problème (c'est le cas pour la plupart des problèmes de déduction logique) ou à chacune des contraintes (par exemple trouver un nombre sur lequel portent plusieurs contraintes, ou encore dessiner une figure ayant telles caractéristiques...).

• Parfois il faut examiner un ensemble de possibilités et il s'agit de vérifier que la méthode utilisée permet bien de tout parcourir (problèmes de dénombrement en particulier).

• Dans certains problèmes il n'y a pas de vérification simple possible ; il faut prouver, argumenter en référence au sens du problème.

Cette classification n'est certes pas exhaustive, mais nous avons essayé de mélanger les genres. Comme nous voulions aussi alterner problèmes numériques, géométriques, logiques... que nous voulions des énoncés différents des énoncés scolaires les plus courants et que nous recherchions chaque fois dix problèmes de difficultés variées pour chacune des catégories, nous nous sommes heurtés à un travail lourd de choix d'énoncés. Même si nous avons pu en créer un bon nombre, nous en avons aussi empruntés à d'autres compétitions.

L'évaluation du type de difficulté d'un énoncé aura été pour nous l'un des principaux écueils. Malgré l'étude et la relecture de chaque énoncé par des collègues du niveau concerné, l'appréciation du niveau de difficulté a souvent été contredite par les résultats obtenus.

 

DES EFFETS CONSTATES

L'observation des enfants au cours du rallye s'est souvent révélée très riche pour les enseignants ; en 1991, nous avons réalisé une enquête pour que les collègues concernés nous fassent part de leurs remarques. En voici quelques résultats :

• Concernant les réactions des enfants, l'enthousiasme a été général (malgré quelques rares cas de rejet). Les enfants avaient plus envie de chercher que dans le cadre scolaire habituel. Il n'y a pas eu de renversement de tendance par rapport à la réussite scolaire habituelle, mais certains comportements inattendus sont apparus : des enfants habituellement brillants pouvaient se retrouver plus ou moins gênés alors que d'autres habituellement plus effacés se montraient des chercheurs efficaces.

• Les enfants ont développé beaucoup d'imagination et de rigueur pour se trouver une organisation collective , gérer le temps et notamment programmer les temps de recherche et de confrontation, se partager des tâches et des responsabilités, assurer la communication... et les classes finalistes ont souvent été celles qui avaient la meilleure organisation plutôt que celles qui avaient les élèves les plus brillants. De ce point de vue, les classes à faible effectif étaient, semble-t-il, plus favorisées.

• Le point le plus épineux a partout été celui de la prise de décision collective . Dans certains cas chaque problème n'était étudié que par un seul groupe et il n'y avait pas de confrontation ou alors lorsqu'un enfant déclarait avoir résolu un problème, les autres lui faisaient confiance, sans discussion et ne revenaient plus sur ce problème. Lorsqu'il y avait discussion sur les solutions, les enseignants ont souvent noté des difficultés d'expression, les élèves ayant du mal à expliquer leur démarche, ou des difficultés d'écoute, chacun expliquant son travail sans bien écouter les comptes-rendus des autres. Dans les cas de litige, certaines classes recouraient à un vote, d'autres s'en remettaient à celui qui parlait le plus fort ou était réputé le meilleur en maths. Cette dernière stratégie a souvent desservi des classes, lorsque la solution erronée de l'élève réputé meilleur l'emportait sur celle, correcte, de plus faibles qui ne se sentaient pas autorisés à manifester leur désaccord...

Dans presque tous les cas les stratégies des enfants ont évolué au cours des épreuves. Le rallye comprend deux épreuves de qualification et une finale (dont les textes sont envoyés à tous les participants non finalistes) et certaines classes participent chaque année depuis trois ans.

Nous avions suggéré aux enseignants, à partir de leurs observations, d'aider éventuellement les élèves à analyser, après coup, leurs comportements durant l'épreuve, mais sans leur imposer une ligne de conduite.

Certains enseignants, intrigués par leurs observations et intéressés par les effets produits, ont construit eux-mêmes des épreuves d'entraînement sur le même principe. L'évolution est nette et rapide sur le plan de l'organisation collective matérielle, beaucoup plus lente sur celui de la prise de conscience de l'importance de la discussion et de la confrontation des solutions. Mais cette prise de conscience s'est faite aussi, à l'occasion du rallye, chez un certain nombre de maîtres qui nous ont déclaré avoir été amenés, à partir de là, à revoir leurs stratégies d'apprentissage pour laisser plus de place au travail en groupes et au débat sur les solutions et procédures de résolution.

 

SITUATION DE RALLYE ET SITUATION DE CLASSE

L'intérêt principal de la formule de ce rallye est sans doute le type de contrat qui s'instaure dans la classe entre le maître et les élèves.

Dans la situation scolaire habituelle, l'enseignant est là pour poser les problèmes mais aussi aider les élèves à les résoudre, fournir éventuellement des pistes, tenter des déblocages, inciter à la discussion, à la confrontation, faire les mises au points, les synthèses... Même lorsqu'il incite au maximum les élèves à la recherche, l'enseignant n'est jamais absent ; il est un recours sur lequel les élèves savent qu'ils peuvent compter.

En revanche, ceux-ci n'ont pas le choix de s'investir ou non dans l'activité, il est de leur "devoir d'élèves" de suivre les consignes du maître et de chercher à résoudre les problèmes qu'il leur soumet. C'est ce qui rend difficile la "dévolution", c'est-à-dire le passage à une reconnaissance de responsabilité de la part des élèves vis-à-vis du résultat qu'ils ont à rechercher, indépendamment de la volonté du maître.

Dans la situation du rallye, la recherche des problèmes résulte d'une volonté préalable des élèves de s'engager dans cette activité et chacun, le moment venu, conserve le choix de s'investir ou non. L'enseignant est hors-circuit et la responsabilité des élèves est totale et concerne aussi bien l'aspect organisation de la classe que l'aspect résolution de problèmes. La seule aide concevable est celle des camarades, c'est-à-dire de pairs, la responsabilité devant être assumée de façon collective.

L'enseignant n'intervient pas, même pour maintenir la vigilance. (Les interventions du type : "tu devrais te relire", "es-tu bien sûr de ton résultat ? ", "vous devriez écouter un tel.." sont a priori exclues).

Et c'est sans aucun doute cet aspect de prise en charge par les élèves des problèmes à résoudre qui nous paraît le plus intéressant sur le plan pédagogique pour les classes qui participent au rallye.

 

UNE NOUVELLE FORMULE POUR LE RALLYE 93

Les idées directrices resteront les mêmes pour le rallye 93, mais nous avons décidé d'adopter de nouvelles modalités qui nous paraissent plus propices à faciliter le débat mathématique et qui devraient permettre aux classes à plusieurs niveaux de s'intégrer plus facilement.

Nous avons constaté que les classes qui ne savaient pas très bien faire certains problèmes préféraient souvent indiquer quand même une solution, à tout hasard... Il n'y avait pas grand chose à perdre à donner une solution fausse.

Les épreuves se dérouleront donc désormais de la façon suivante :

Chaque classe inscrite recevra, pour chaque épreuve, une liste de 15 problèmes . Ces 15 problèmes seront les mêmes pour toutes les classes, du CE2 à la cinquième. Ils seront de difficultés très variées et notés de 1 à 15 points.

Il n'y aura toujours qu'un seul bulletin-réponse pour la classe, mais les élèves devront choisir 3 problèmes et 3 problèmes seulement.

Chaque classe aura initialement un capital de points. Tout problème dont la solution sera correcte fera gagner le nombre de points correspondant ; tout problème dont la solution sera incorrecte fera perdre le nombre de points correspondant...

Une pré-expérimentation dans quelques classes nous permet de penser que cette nouvelle formule peut améliorer la pratique du débat mathématique.

Cela ne vient pas du premier coup : le premier réflexe, surtout dans les classes de CE ₂ et aussi de CM₁, consiste à répondre aux problèmes rapportant le plus de points ; il faut quelque temps avant de prendre conscience qu'il vaut mieux, pour le score, réussir un problème à peu de points, que de n'être pas sûr de la réponse à un problème qui en rapporte beaucoup...

 

ANNEXE

Voici quelques exemples de problèmes posés

(extraits ici de la seconde épreuve de 1992, passée vers la fin mars).

Les classes de la catégorie "Perfectionnement" ainsi que les sixièmes et cinquièmes de SES concouraient avec les mêmes épreuves que les classes de la catégorie "CE₂ ". Les quatrièmes et troisièmes de SES recevaient celles de "CM₁ ".

Une brochure détaillant les analyses précédentes et rassemblant les problèmes des épreuves de ces trois dernières années devrait paraître prochainement, sans doute début 93.