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Son et lumière
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La gamme naturelle ou de Zarlino

Construction de la gamme

La gamme de Pythagore s'appuie uniquement sur une succession de quintes et ignore les autres harmoniques de la fréquence fondamentale. La fréquence 5 (5/4 une fois normalisée) ainsi que les fréquences 7, 11, ... sont ignorées alors que la suite de ces notes est agréable à entendre.

Voici, par exemple la suite des harmoniques d'un DO actuel (261,63 Hz) jusqu'à la onzième harmonique : WAV  MP3

La tierce

Dans la gamme de Zarlino, seules la quinte (3/2) et l'harmonique 5 (5/4) sont utilisées. Elle forment ce que l'on appelle un accord parfait majeur qui est particulièrement agréable et était délaissé dans la gamme de Pythagore.

 La fréquence de l'harmonique 5, 5/4 = 1,25 correspondant à peu près au MI de la gamme de Pythagore (1,265625) l'intervalle avec la fondamentale est appelé une tierce naturelle et la note trouvée remplacera le MI de la gamme de Pythagore dans celle de Zarlino.

Voici l'accord parfait majeur (DO - MI - SOL) dans les différentes gammes en partant du DO actuel (216,63 Hz) :

 

Remarque :

La fréquence de l'harmonique 7, 7/4, appelée la septième naturelle n'est pas utilisée par Zarlino et correspond à une note un peu plus basse que le Si (on parle de Si diminué). Cette note a tout de même été utilisée par certains musiciens comme Tartini. Elle ne peut être jouée avec un piano et tout instrument à notes fixes mais ne pose pas de problèmes pour un violon.

Voici l'accord de septième (DO - MI - SOL - SI-) dans la gamme de Zarlino et les accords de septième les plus proches dans les autres gammes en partant du DO actuel (216,63 Hz) :

La suite des accords parfaits

Pour créer la gamme, Zarlino utilise 3 accords parfaits successifs :

• Le premier part de la fondamentale : DO - MI - SOL,
• Le second part de la quinte de la fondamentale : SOL - SI - RE,
• Le troisième part de la note dont la fondamentale est la quinte : FA - LA - DO.

Nous avons obtenu les 7 notes de la gamme.

Si nous prenons 1 comme fréquence du DO, SOL a pour fréquence 3/2, FA a pour fréquence 4/3 et RE pour fréquence 9/8 comme dans la gamme de Pythagore ce qui est normal, ces notes étant obtenues par des quintes.

Par contre MI est la tierce du DO et a pour fréquence 5/4, SI est la tierce du SOL et a pour fréquence 5/4 x 3/2 = 15/8, LA est la tierce du FA et a pour fréquence 4/3 x 5/4 = 5/3;

Le rapport entre les SI de Pythagore et de Zarlino vaut : , une valeur un peu inférieure au comma pythagoricien. 

Nous trouverions le même rapport en comparant les notes MI et LA des deux gammes.

Comparaison avec les autres gammes

La gamme de Pythagore et la gamme tempérée sont présentées par ailleurs, nous nous contenterons donc d'une comparaison des fréquences et d'une écoute des gammes obtenues en partant d'un DO à la fréquence actuelle 261,63 Hz.

Transpositions

Tons et demi-tons ?

Calculons les rapports de fréquences entre les notes successives :

Dans notre gamme du DO, nous avons donc, dans l'ordre :

1 petit ton - 1 grand ton - 1 demi-ton - 1 petit ton - 1 grand ton - 1 petit ton - 1 demi-ton.

Si nous comparons un grand ton et un petit ton, nous trouvons : , une valeur que nous avons déjà trouvé et qui est proche du comma pythagoricien.

Des notes différentes suivant la gamme

Si nous voulons construire la gamme du RE, la note suivante MI devra être à un petit ton de RE, or le MI de la gamme du DO est à un grand ton de RE. Nous aurons donc besoin de deux notes MI différentes, et  . Le rapport entre ces notes est  .

D'une manière générale, toutes les notes, y compris les dièse et bémol peuvent prendre deux valeurs dans un rapport de en fonction de la gamme utilisée. Nous vous passons les calculs mais, par exemple, LA  peut prendre les deux valeurs alors que SI peut prendre une des deux valeurs .

Si nous ne trichons pas, les 7 gammes principales ne nécessiteront pas 13 notes mais près du double ce qui est pratiquement ingérable pour un instrument à notes fixes. Si nous trichons, nous assimilons les valeurs différentes d'une même note en choisissant une des deux valeurs et nous assimilons SI et LA.

Un instrument conçu pour jouer correctement en DO Majeur, ne pourra pas accompagner correctement un chanteur qui, pour des raisons de tessiture transposera la musique en MI ou en FA. 

Vu sous un autre angle, un instrument conçu pour le DO majeur aura des sonorités différentes si l'on joue dans une autre tonalité ce qui n'est pas le cas avec notre gamme tempérée.

Jean-Luc Juveneton : Ingénierie Educative - CRDP - Grenoble (38) / imel@ac-grenoble.fr / 20 décembre 2005