La gamme de Pythagore

Construction de la gamme

La gamme de Pythagore a été utilisée de l'antiquité jusqu'au 16ème siècle et, contrairement à ce que laisse penser son nom, elle n'a pas été créée par Pythagore mais par ses disciples.

Son principe est basé sur une succession de quintes, la première harmonique entendue lorsque l'on joue une note.

	Si l'on part d'une fondamentale DO que nous prenons comme unité de fréquence, la première quinte a pour fréquence 3/2.
	Pour définir une nouvelle note, nous allons prendre la quinte de la note trouvée, sa fréquence est qui, normalisée (ramenée dans l'intervalle [1;2]) donne .
	En prenant la quinte de la nouvelle note nous trouvons qui, normalisée donne .
	La quinte suivante a pour fréquence ce qui donne . A ce niveau, nous avons 5 notes assez régulièrement réparties et nous pourrions nous arrêter. Nous avons obtenu la gamme pentatonique majeure qui est utilisée en jazz sous sa forme tempérée, en particulier dans le "blues".
	La quinte suivante a pour fréquence ce qui donne .
	Nous avons maintenant 6 notes et, curieusement, la 7ème note n'est pas celle qui serait définie par la quinte suivante et qui se placerait pourtant dans l'intervalle un peu plus grand entre la 1^ère et la 4^ème quinte. Elle est calculée sur le fait que si DO est en harmonie avec sa quinte, il est aussi en harmonie avec la note dont elle est la quinte et qui a pour fréquence (car ) ce qui donne dans l'intervalle [1;2].
	Nous avons maintenant les 7 notes de la gamme majeure de Pythagore. Pour revenir à la notation traditionnelle nous allons les appeler Do, Ré, Mi ...

Organisation de la gamme

Calculons les rapports de fréquences entre notes successives :

Nous n'avons que des rapports de 9/8 (tons pythagoriciens) et des rapports de 256/243 (demi-tons pythagoriciens) que nous retrouvons dans l'ordre que nous connaissons dans notre gamme actuelle : 1 ton - 1 ton - 1 demi-ton - 1 ton - 1 ton - 1 ton - 1 demi-ton.

On peut tout de même faire une remarque, le ton est un peu supérieur à la succession de deux demi-tons.

Justifions cette affirmation par un calcul, pas si simple que cela et qui montre la difficulté à travailler avec des notions où seuls les rapports entre les nombres importent.

Si nous allons d'une note A à une note B par un demi-ton puis de la note B vers la note C par un demi-ton nous avons :

qui est un rapport un peu plus grand.

Pour être plus précis, le rapport des fréquences est : .

Cette différence de l'ordre de 1/9 de ton n'est pas négligeable et tout à fait audible, elle s'appelle le comma pythagoricien.

Comparaison avec la gamme tempérée

La gamme tempérée est présentée par ailleurs, nous nous contenterons donc d'une comparaison des fréquences et d'une écoute des gammes obtenues en partant d'un DO à la fréquence actuelle 261,63 Hz.

	DO	RE	MI	FA	SOL	LA	SI	DO	Ecoutons
Gamme de Pythagore	261,63	294,33	331,13	348,84	392,44	441,50	496,69	523,26	WAV MP3
Gamme tempérée	261,63	293,66	329,63	349,23	392,00	440,00	493,88	523,26	WAV MP3

Si vous n'êtes pas très habitués, vous verrez peut être assez peu la différence au niveau de la gamme par contre en comparant les deux notes SI, la différence est assez nette (environ 1/16^ème de ton) :

WAV MP3

Les dièse et les bémol

Pourquoi s'être arrêtés à 7 notes principales plutôt que 5 ou même plus, nous pouvons nous poser la question.

Pour l'instant nous avons trouvé 7 notes qui sont dans l'ordre des quintes : FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI mais rien n'empêche de regarder les autres quintes que ce soit au delà du SI (quinte du SI, puis de la note obtenue ...) ou avant le FA (note dont FA est la quinte ...).

La quinte suivant le SI a pour fréquence .

De la même manière que la quinte du DO est SOL et que la quinte du LA est MI, nous pouvons dire que la quinte du SI est un FA mais ce n'est pas le FA normal et il se place entre FA et SOL, nous l'appellerons FA (FA dièse).

Si nous calculons le rapport

En poursuivant, nous allons trouver les notes DO, SOL, RE, LA, MI et SI et nous pourrions continuer par FA, DO ...

En partant dans l'autre sens et en cherchant la note dont FA est la quinte, nous trouvons un SI compris entre le LA et le SI normal, nous l'appelons donc SI (SI bémol), en poursuivant nous trouverons MI, LA, RE, SOL, DO, FA et nous pourrions continuer par SI, MI ...

En raison de leurs constructions par des quintes, les bémols respectent les mêmes rapports que les quintes et , par exemple :

soit la même valeur que .

Dièse et bémol sont différents, si nous recherchons la différence entre FA# et SOL, nous trouvons :

, le comma pythagoricien.

FA	SOL	Succession
WAV MP3	WAV MP3	WAV MP3

L'ordre des quintes

Nous venons de retrouver l'ordre des dièse (FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI) et l'ordre des bémol (SI - MI - LA - RE - SOL - DO - FA) que nous avons vu en solfège pour les altérations à la clé des différentes gammes.

Ce n'est pas surprenant, il suffit de placer dans l'ordre des quintes les notes que nous venons de voir et d'en prendre 7 successives pour créer la gamme majeure d'une autre note fondamentale. Nous avons pour l'instant trouvé la suite de notes suivante :

FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI - FA - DO - SOL - RE - LA - MI -SI - FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI

La gamme du DO Majeur, s'obtient en prenant les 7 notes :

Pour la gamme du SI Majeur, nous avons les 7 notes :

Pour la gamme du FA Majeur nous avons :

La quinte du loup

Si nous ne voulons pas une infinité de notes différentes avec des risques de battements (nous pouvons définir un FA, un FA ...), il va falloir boucler à un moment ou un autre et assimiler deux notes différentes en une seule pour retomber sur des octaves. En partant de notre gamme de base obtenue par la suite des quintes FA - DO - SOL - RE - LA - MI - SI et en poursuivant dans les dièse, la première note à problème est le MI qui est proche du FA (écart d'un comma pythagoricien), nous allons donc les assimiler et tricher sur la note MI qui sera identique à FA (par la même occasion, FA et MI sont identiques).

Nous avons réussi à limiter l'ensemble des notes mais dans l'ensemble des quintes, une d'entre elles sera fausse et l'on évitera de la jouer ; c'est la quinte du loup.

Présenté différemment, nous pouvons remarquer que pour retomber sur une note initiale par une succession de quintes, il faudrait qu'un certain nombre de quintes soit égal à un autre nombre d'octaves.

12 quintes valent 7 octaves à un comma pythagoricien près. Nous tricherons sur une des douze quintes pour que 12 quintes = 7 octaves.

Transpositions

Au vu de des listes présentées dans l'ordre des quintes, nous pouvons constater que les gammes majeures des 7 notes principales peuvent être obtenues à partir de 13 notes, allant du SI au LA dans l'ordre des quintes.

Si pour la quinte du loup nous assimilons le LA et le SI, les 7 gammes peuvent être jouées à partir de 12 notes fixes.

Avec des instruments à notes fixes, nous allons pouvoir transposer un morceau de musique d'une gamme vers une autre sans trop de difficultés mais il y a tout de même un petit problème ; la quinte du loup ne se trouvera pas à la même position dans chaque gamme ce qui modifiera les impressions ressenties en fonction de la gamme utilisée.

Lien

Pour les guitaristes, vous trouverez la disposition et la forme à donner aux frettes pour que la guitare soit accordé en DO de la gamme de Pythagore sur le site http://www.jeanpierrepoulin.com/Guitare.htm.

Vous trouverez également à l'adresse http://www.jeanpierrepoulin.com/Demos.htm de ce site des démos de musiques jouées avec la gamme de Pythagore ou d'autres gammes non tempérées (gammes microtonales).

Jean-Luc Juveneton : Ingénierie Educative - CRDP - Grenoble (38) / imel@ac-grenoble.fr 20 décembre 2005