Construire avec le compas

Construire avec le compas
Tout ce qui peut être construit avec la règle et le compas peut l'être avec le seul compas. Bien sûr, ce théorème ne veut pas dire que l'on peut tracer facilement une ligne droite sans utiliser de règle. Il indique tout de même que tout point que l'on peut déterminer avec ces deux instruments peut l'être avec le compas seul.

Ce théorème est en général attribué à Lorenzo Mascheroni (1750-1800) qui en a donné une démonstration complète dans son livre "Géométrie du compas" édité en 1797 et dédicacé à Napoléon. Une des constructions principales permettant de retrouver le centre d'un cercle a d'ailleurs pris le nom de "Cercle de Napoléon". En fait, un mathématicien danois peu connu, Georg Mohr l'avait déjà démontré en 1672 dans un livre passé inaperçu. Lorenzo Mascheroni n'en a probablement jamais entendu parler.

Si ce théorème n'est au programme d'aucune classe du secondaire, il ne demande pour sa démonstration aucune connaissance d'un niveau supérieur à la troisième et la plupart des constructions que nous vous proposons sont simples.

Avant de passer à une démonstration, voici quelques recherches que vous pouvez effectuer sur ce thème. Si vous ne trouvez pas la solution, allez consulter la rubrique correspondante :

Avec le seul compas retrouvez :

Le troisième sommet d'un triangle équilatéral		élémentaire
La construction d'un hexagone régulier		élémentaire
Le quatrième point d'un parallélogramme		élémentaire
Le symétrique d'un point par rapport à un autre,		facile
Le symétrique d'un point par rapport à une droite,		facile
Les intersections d'une droite et d'un cercle (cas général)		moyen
Le centre d'un cercle		très difficile
L'intersection de deux droites (cas général)		difficile
Le milieu d'un segment		moyen
L'intersection de deux droites perpendiculaires		facile
Le milieu d'un arc de cercle		très difficile
Les intersections d'une droite et d'un cercle centré sur la droite		facile

Prenez les questions dans l'ordre et utilisez les résultats énoncés précédemment pour éviter les constructions trop longues (une question jugée d'un niveau moyen ou facile peut utiliser un résultat plus difficile à démontrer).

Pour chaque construction, les segments et droites pourront être dessinés en fin de travail pour mieux visualiser la solution.

Avec ces réponses, vous avez tous les éléments pour démontrer le théorème. Si vous n'y arrivez pas,

Consultez notre démonstration

De nombreuses constructions nécessitant le tracé de plusieurs dizaines de cercles si l'on se contente d'effectuer les constructions selon les techniques vues précédemment, peuvent être effectuées beaucoup plus rapidement. Voici, par exemple, la construction des deux sommets manquants d'un carré dont on connaît un des côtés [AB].

Pourriez-vous justifier cette construction ?
Les connaissances nécessaires sont du niveau de 3ème mais la démarche n'est pas évidente.

Si vous ne trouvez pas,

consultez notre solution

Jean-Luc Juveneton : Ingénierie Educative - CRDP - Grenoble (38) / imel@ac-grenoble.fr / 1 octobre 1998