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Utilisation des imagiciels du CNAM (probabilités)

Travaux Dirigés de probabilité

 

Introduction :

Le but de ces différents Travaux Dirigés est d'établir les liens existant entre les notions de Fréquence, de probabilité et d'Aire.

• Le premier TD s'intéresse à la correspondance entre la fréquence d'apparition d'un événement et sa probabilité. La difficulté qui se pose est de reproduire une expérience aléatoire suffisamment de fois pour obtenir un fréquence significative. Le logiciel "Proba.exe" conçu par le CNAM permet de résoudre ce problème en proposant la simulation d'un certain nombre d'expériences aléatoires (lancés de dés ou de pièces).
• Le deuxième TD s'intéresse plus à la correspondance entre la notion d'aire et les notions de Fréquence et de probabilité. Il débute par une présentation de la méthode de Monte-Carlo, puis propose une application de cette méthode en utilisant "Proba.exe".
• Enfin, un dernier exercice permettra d'effectuer la synthèse entre les différentes correspondances établies précédemment.

Partie I : Fréquences et probabilités

 
Le but de ce TD est de vous montrer la correspondance entre la fréquence d'apparition d'un événement et sa probabilité.

Situations A :

1. On lance un dé à 6 faces. On regarde le chiffre obtenu.
2. On lance une pièce. On regarde la face obtenue

Situations B :

1. On lance 2 dés à 6 faces. On regarde la somme des chiffres obtenus.
2. On lance 2 pièces. On regarde le nombre de fois où l'on obtient "pile".

Situations C :

1. On lance 3 dés à 6 faces. On regarde la somme des chiffres obtenus.
2. On lance 5 pièces. On regarde le nombre de fois où l'on obtient "pile".

 
Pour chacune des situations précédentes :
 

1] Point de vue théorique :

Calculer directement les probabilités des événements considérés.

 
2] Point de vue expérimental :

Grâce à l'ordinateur, simulez l'expérience : 100 fois, 1000 fois, puis 10000 fois. A chaque simulation, calculez les fréquences d'apparition de l'événement qui vous intéressent. Vous utiliserez pour cela le logiciel "Proba.exe"

3] Comparez les fréquences et les probabilités obtenues

Partie II : Aire et Probabilité

Dans cette partie, nous commençons par présenter une méthode permettant de calculer une aire en procédant à une expérience aléatoire et en recherchant la fréquence d'apparition d'un événement donné (la méthode de "Monte-Carlo"). Pour vous familiariser avec cette méthode je propose ensuite un TD utilisant "Proba.exe".

La Méthode de Monte-Carlo :

Partons d'un exemple :

Supposons que l'on souhaite déterminer une approximation de la surface des Etats-Unis (sans l'Alaska) à partir d'une carte.

Procédons de la manière suivante :

Fermons les yeux, et avec un stylo dessinons un point au hasard dans le carré ABCD. On suppose que tous les points du carré ont la même chance d'être obtenus.

On refait cette expérience un très grand nombre de fois, et à chaque fois on note si le point se trouve dans les Etats-Unis, ou à l'extérieur.

Pour en déduire l'aire des Etats-Unis, on utilise le résultat suivant :

"Il y a proportionnalité entre le nombre de points et la surface"

 
Supposons que l'on ait tracé 10000 points, et que l'on ait obtenu les résultats suivants :

L'estimation de la surface des Etats-Unis est donc : (20 250 000 X 3 852) / 10 000 = 7 800 300 km carré

Bien sûr, à moins d'être très patient, cette méthode est difficilement applicable sans l'aide d'un ordinateur ......

TD : Application de la méthode.

Utilisation de l'imagiciel "Proba.exe"

Le logiciel "Proba.exe" propose une application de la méthode de Monte-Carlo dans le calcul de l'aire comprise entre la représentation graphique Cf d'une fonction, l'axe Ox et les droites d'équation x = 0 et x = 1.

Pour vous familiariser avec cette méthode, je vous propose d'utiliser le logiciel pour calculer cette aire dans le cas des fonctions suivantes :

Remarque importante :

Comme il y a proportionnalité entre "le nombre de points" et "la surface", alors il y a proportionnalité entre la fréquence et la surface. Or d'après la première partie, la fréquence est une estimation de la probabilité, donc :

il y a proportionnalité entre "la probabilité qu'un point tombe dans une figure" et "la surface de cette figure".

Nous allons utiliser ce résultat important dans l'exercice suivant .....

Partie III : Le lancé de Palet

 Cet exercice permet de réutiliser dans un cadre concret, les résultats découverts dans les 2 parties précédentes

 
Travaux Dirigés :

Sur un sol recouvert uniformément de carreaux de coté 10 cm, on fait glisser au hasard un palet ayant la forme d'un disque de diamètre d = 5 cm.

A chaque arrêt du palet, on regarde si celui-ci touche ou non une rainure.

On notera "A" l'événement : "le palet ne touche pas de rainure".
 

 

1) D'après vous, l'événement "A" a-t-il :

• moins d'une chance sur deux de se produire ?
• plus d'une chance sur deux de se produire ?
• environ une chance sur deux de se produire ?

On demande une réponse intuitive non justifiée ......

 
2) Méthode expérimentale (Correspondance entre la fréquence et la probabilité)

Trouvez une méthode expérimentale réaliste qui permette de répondre à la question précédente.

 
3) Méthode théorique (Proportionnalité entre Aire et Probabilité)

a) Où doit se situer le centre du palet pour que celui-ci ne touche pas de rainure ?

b) En vous inspirant de la méthode de Monte-Carlo, calculez la probabilité de "A".

Pascal Delahaye : Lycée Climatique - Villard de Lans (38) / imel@ac-grenoble.fr / 29 septembre 1998