Apprendre à rédiger correctement une démonstration

Travaux Dirigés par groupes

Remarque : Pour distinguer Vecteurs et Distances, nous avons choisi dans ce document de représenter les vecteurs en gras.

Objectif : Donner aux élèves les moyens d'évaluer leur propre rédaction pour leur éviter les erreurs et maladresses classiques.

Pour cela, le travail demandé aux élèves consiste à :

1) Analyser la rédaction faite par un élève :

a) Critique des points négatifs

relever les affirmations gratuites
relever les faux théorèmes
relever les rédactions inutiles
relever les rédactions floues
relever les erreurs de raisonnement
relever les erreurs de calculs

b) Mise en évidence des points positifs

relever les astuces de présentations
relever les bonnes tournures de phrases
relever la bonne utilisation des liens logiques

2) Rédiger une démonstration en

a) évitant les erreurs commises par l'élève
b) utilisant les points positifs relevés

Exercice de géométrie

Enoncé et Propositions d'un élève

Exercice :

2 cercles C et C' de centres respectifs O et O', de rayons respectifs 5 cm et 3 cm, sont tangents extérieurement en I.
On construit le triangle ABI équilatéral et inscrit dans C, puis le triangle CDI équilatéral et inscrit dans C'.
Les points A et D sont placés comme sur la figure suivante :

Question 1 :

a) Démontrez que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
b) Trouvez le nombre a tel que CD = a.AB

Question 2 :

Vérifiez que IO' = a.IO

Question 3 :

Démontrez que les droites (OA) et (O'C) sont parallèles.

Réponses d'un élève

Question 1 a) :

Si AB et CD sont colinéaires, on a une relation de la forme u = k.v.
Les triangles ABI et CDI ont un point commun ; on a donc AI = k.IC et BI = k.ID.
Les triangles ABI et CDI étant équilatéraux, cette relation est aussi valable pour les vecteurs AB et CD.

On a donc AB = k.CD et AB et CD sont colinéaires.

Question 1 b) :

On a observé auparavant qu'on avait la relation AB = a.CD puisqu'on a démontré que les vecteurs AB et CD sont colinéaires. On peut donc aussi dire qu'on a CD = a.AB.

On s'aperçoit qu'on peut introduire les points O et O' dans AB et CD
On obtient alors les rayons AO, OB, CO' et O'D.

On a CD = a.AB, donc :

On peut alors dire que :

On a donc :

Question 2 :

On sait que les triangles ABI et CDI ont le point I en commun.

Dans le triangle ABI, O est situé sur la hauteur issue de I. Il en est de même pour le point O' dans le triangle CDI.

Les vecteurs AB et CD étant colinéaires et parallèles, la hauteur issue de I est perpendiculaire à l'un et à l'autre par définition. O se trouvant sur la droite (OI) et O' sur la droite (IO'), les points O, I et O' se trouvent sur la même droite et on a donc OI = k.IO'

On peut donc dire que IO' = a.IO, le nombre a étant le même pour toutes les relations entre les vecteurs colinéaires appartenant à ces 2 triangles.

Question 3 :

Hypothèses :

AB = k.DC
OI = k.IO'
IA = k.CI

Partons de la relation :

OI = k.IO'
OA + AI = k.IO'
OA = k.IO' + IA

On sait que IA = k.CI, on a donc

OA = k.IO' + k.CI
OA = k.CO'

Les vecteurs OA et CO' sont donc colinéaires et les droites (OA) et (O'C) sont parallèles

Travail à effectuer

Mettez-vous par groupe de 3 :

1^ère partie : 30 minutes

Pour chaque question de l'exercice résolue par l'élève :
1) Relevez ce qui est :

- incorrect

les affirmations gratuites
les faux théorèmes
les rédactions inutiles
les rédactions floues
les erreurs de raisonnement
les erreurs de calculs

- intéressant

les astuces de présentations
les bonnes tournures de phrases
la bonne utilisation des liens logiques

2) Rédigez une démonstration plus précise et mieux structurées.

2^ème Partie : 20 minutes

1) échangez vos travaux entre groupes

2) corrigez précisément la copie que vous avez reçue.

3) rendez la copie au groupe à qui elle appartient

4) récupérez votre travail et discutez entre vous des corrections apportées par les autres.

3^ème Partie : à la maison

Apportez les corrections nécessaires à votre travail pour que plus personne ne puisse le critiquer ! ! .....

Pascal Delahaye : Lycée Climatique - Villard de Lans (38) / imel@ac-grenoble.fr / 29 septembre 1998