Dossiers : Thèmes
De la notion de Chaos à la notion de Fractales
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Un nouveau regard sur la nature .....

Introduction :

Afin d’expliquer les phénomènes naturels, les scientifiques ont toujours simplifié la nature. Pourtant, “Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite ! ” aimait à dire le mathématicien Benoît Mendelbrot. En effet, les structures observées dans la nature sont beaucoup plus complexes que les formes géométriques usuelles. Or, personne ne s’était interrogé sur cette complexité omniprésente avant 1960, l'année où Mendelbrot aborde ce nouveau problème. C’est dans le cadre de ses travaux de recherche que naîtra en 1975 la notion de fractale.

En observant la nature, Mendelbrot a constaté que certains objets avaient une structure bien particulière. Quel rapport voyez-vous entre, un nuage, une barrière de corail, un chou fleur, un flocon de neige, les côtes de Bretagne, une fougère, les branches d’un arbre et la voie lactée ? ... Aucun me direz-vous ? ... Eh bien si ! Tous ces objets ont une propriété commune. Si vous observez un de ces objets à différents grossissements, vous constaterez que sa structure reste plus ou moins identique. On dira que ces objets possèdent une structure fractale, ou plus communément, que ce sont des fractales....

Pour expliquer la nature, les scientifiques font appels aux mathématiques. Ils essaient de traduire les mécanismes naturels par des relations afin de reproduire artificiellement les phénomènes observés. Si leur modèle mathématique reproduit fidèlement la réalité, ils considèrent avoir effectué un pas intéressant vers la compréhension du phénomène étudié. La démarche de Mendelbrot a donc été de reproduire mathématiquement les structures fractales observées dans la nature. En étudiant une suite numérique il parvint au bout de quelques années à reconstituer une figure ayant les propriétés fractales observées dans la nature. Cette figure est la suivante :

   
 

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Activité 1 : Vérification des propriétés fractales de la figure  :
 

Pour savoir si cette figure possède bien les propriétés d’une fractale, il faudrait pouvoir zoomer sur une partie du dessin, et observer si la structure de départ réapparaît.

Vous pouvez effectuer ce travail à l’aide du programme “Winfrac”.

Procédez de la façon suivante :

• Ouvrez le logiciel “Winfrac”
• Dans le menu Fractals, choisissez l’option Fractal Formula...
• Dans la liste qui apparaît, choisissez “mendel”.

Observez la nouvelle structure puis effectuer un nouveau zoom.

Décrivez ce que vous observez ....
 
 

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Activité 2 : Conception de cette figure

Pour effectuer ce “dessin”, Mendelbrot est parti des 2 suites “imbriquées” suivantes :
 

• 

Les nombres x et y sont des paramètres que l’on va faire varier ....

1) Calcul des termes de ces 2 suites :

Pour comprendre le fonctionnement de ces 2 suites calculez les 3 premiers termes de (U_n) et de (V_n) dans les 2 cas suivants :

• lorsque : x = 0 et y = 1
• lorsque : x = 1 et y = 1

Remarque :

Vous constaterez, qu’en donnant des valeurs différentes au couple (x ; y), on obtient des suites (U_n) et (V_n) différentes.
 
   

2) Observation des comportements possibles des suites (U_n) et (V_n).

Grâce à un tableur ou à votre calculatrice, vous allez représenter les premiers termes du la suite de Mendelbrot.
Pour les différentes valeurs des paramètres x et y, observez les différents comportements de la suite de Mendelbrot.

Notez les comportements observés dans le tableau suivant :
   
 
 

3) Construction du dessin

Pour obtenir son dessin fractal (appelé l’ensemble de Mendelbrot), Mendelbrot a procédé de la façon suivante.

Sur un graphe, il a porté les valeurs de x en abscisse et les valeurs de y en ordonnée.

Pour chaque couple (x ; y), il a étudié le comportement des suites (U_n) et (V_n)

• Si ces 2 suites convergent, le point du graphe est colorié en noir
• Si l’une des suites diverge, le point du graphe est colorié d’une autre couleur. Les différentes couleurs observées correspondent aux vitesses de divergence des suites.

Nous allons effectuer un examen détaillé de l’ensemble de Mendelbrot.
Pour cela, ouvrez le logiciel WINFRAC

a) Vérification :

Vérifiez que les comportements observés précédemment sont cohérents avec les couleurs du dessin.

b) Etude des vitesses de convergence :

Dans le tableau suivant, indiquez, pour chaque couleur observée sur le dessin :
 

• les coordonnées de 2 points M(x ; y) ayant cette couleur
• pour chaque point, la valeur de n à partir de laquelle l’un des termes des 2 suites devient plus grand que 10 en Valeur absolue.
 

Commentez les résultats obtenus ....

Bien sûr, Mendelbrot, n’a pas fait manuellement ce travail pour tous les points du plan !
Il a conçu un programme informatique et a confié ce travail à un ordinateur. Les découvertes sur les fractales doivent beaucoup à l’outil informatique. Ceci explique pourquoi cette notion est très récente.
   

Activité 3 : Le monde des fractals

En s’inspirant du travail de Mendelbrot, de nombreux autres mathématiciens ont cherché à construire des fractales. Ils ont découverts un très grands nombres de nouvelles suites ayant des propriétés fractales. Je vous propose de découvrir tout un ensemble de nouvelles fractales, plus originales les unes que les autres ....
        

Pour découvrir ces fractales, ouvrez le logiciel “Winfrac”, et effectuez les opérations suivantes :

• Dans le menu Fractals, choisissez l’option Fractal Formula...
• Choisissez un des noms dans la liste qui apparaît.

 

Consulter la solution

Pascal Delahaye : Lycée Climatique - Villard de Lans (38) / imel@ac-grenoble.fr / 26 mars 1999