Dossiers : Thèmes
De la notion de Chaos à la notion de Fractales
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De la notion de Chaos
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E : Les diagrammes de bifurcation |
Un nouveau regard sur la nature .....
Nous allons étudiez les différents comportements de la suite de Steward :
Pour cela, nous allons fixer une valeur de L, puis observer le comportement de la suite en donnant à U
0 des valeurs différentes (nous prendrons U0 entre 0 et 1).
Activité 1 : Première exploration
Pour les différentes valeurs de L proposées, étudiez le comportement de la suite de
Steward, et résumez les résultats que vous obtenez dans le tableau suivant :
Vous avez constaté que la suite de Steward admet des
comportements différents selon les valeurs prises pour L.
En particulier :
• pour L = 0,7 la suite converge vers une limite donnée
• pour L = 1 la suite est périodique de période 2
Il semble donc que pour une valeur de L comprise entre 0,7 et 1, la suite change de comportement.
Retrouvez cette valeur de L à 10-2 près.
Activité 2 : Diagramme de bifurcation
Définition :
Considérons de nouveau la suite de Steward :
Le diagramme de bifurcation de cette suite est défini de la façon suivante :
On représente L en abscisse (L compris entre 0,7 et 2,3) et on porte en ordonnée, les valeurs obtenues par
les termes de la suite, après un certain nombre d'itérations (200 par exemple). Pour chaque valeur de L, l'opération
est recommencée un grand nombre de fois en choisissant à chaque fois une valeur aléatoire du premier terme
U0 (comprise entre 0 et 1).
On obtient ainsi le diagramme de bifurcation de la suite de Steward.
Vous obtiendrez le diagramme de bifurcation de la suite de Steward grâce au programme “Winfrac”.
Pour obtenir le diagramme effectuez les opérations suivantes :
• Ouvrez le logiciel “Winfrac”
• Dans le menu Fractals, choisissez l’option Fractal Formula...
• Dans la liste qui apparaît, choisissez “bifsteward”.
• Pour adapter la taille du dessin à celle de votre ordinateur, choisissez Image Settings dans le menu
View
Remarque : Pour effectuer un agrandissement d’une zone, il suffit d’encadrer cette zone avec la souris.
Exploration de la zone de régularité
En utilisant ce diagramme et en vérifiant vos hypothèses avec la représentation graphique de la suite
(Un), répondez aux questions suivantes : (vous donnerez vos réponses à 10-3 près)
1) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période 2 ?
2) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période 4 ?
3) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période 8 ?
4) Pour quelle valeur de L, la suite devient périodique de période 16 ?
5) A partir de quelle valeur de L la suite devient-elle chaotique ?
6) Que se passe-t-il à partir de 2 ?
7) Vérifiez toutes ces remarques en traçant dans chaque cas, la représentation graphique de (Un).
Exploration de la zone de chaos
Lorsque L devient plus grand que 1,401 nous entrons dans la zone de chaos .... Pourtant, en observant le diagramme de bifurcation, on constate que cette zone n’est pas complètement uniforme. On observe en effet par endroit des fenêtres où le chaos semble s’estomper. Plongeons-nous dans l’infiniment petit et partons explorer la structure de ces fenêtres ....
Exploration d’une fenêtre :
Parmi toutes les fenêtres qui apparaissent au sein du chaos, allons explorer la structure interne de la plus belle : la 3ième ! !
Effectuez un agrandissement de cette 3ième fenêtre.
En observant le diagramme obtenu répondez aux questions suivantes :
1) D’après vous, pour quelles valeurs de L, la suite (Un) est-elle périodique de période 3 ?
Tracez la représentation graphique de (Un) pour une de ces valeurs.
2) D’après vous, pour quelles valeurs de L, la suite (Un) est-elle périodique de période 6 ?
Vérifiez votre résultat ......
3) A l’intérieur de la fenêtre, pour quelle valeur de L le chaos semble-t-il réapparaître ?
4) Qu’est-ce que vous observez à l’intérieur de cette nouvelle zone de chaos ?
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| Pascal Delahaye : Lycée Climatique - Villard de Lans (38) / imel@ac-grenoble.fr / 26 mars 1999 |