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Dossiers : Thèmes
De la notion de Chaos à la notion de Fractales
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De la notion de Chaos
à  la notion de Fractales

D : La prédicabilité des processus déterministes

Un nouveau regard sur la nature .....

Introduction :

Plusieurs fois par semaine, la télévision procède au tirage du Loto national. On obtient ainsi un série de numéros gagnants. L'examen d'un grand nombre de tirages montre que les séries sont tirées « au hasard ». Aucune loi, aussi sophistiquée soit-elle, ne permet de déduire d'un tirage le moindre enseignement sur le tirage suivant. Ces tirages n'ont aucun rapport, aucune corrélation entre eux. Pour comprendre l'origine de ce hasard, il suffit d'examiner le processus du tirage du Loto. Des boules porteuses de numéros sont introduites dans une sphère. Des bras agitent vigoureusement ces boules, qui subissent des multitudes de chocs, d'une part entre elles, d'autre part avec ces bras. Après cette vigoureuse agitation, qui mélange complètement les boules, une trappe s'ouvre, permettant à une boule de sortir ; le premier numéro est tiré. Au bout d'une nouvelle phase d'agitation, une deuxième boule s'échappe, et ainsi de suite. On comprend aussitôt la raison pour laquelle l'ordre dans lequel ont été mises les boules - à supposer qu'il y en ait un - est complètement effacé par la multitude des chocs de tout ordres... Et les numéros sortent dans n'importe quel ordre, au hasard. La difficulté à prédire un résultat est naturellement liée à la complexité du système. Plus le procéssus à l'origine du résultat est complexe, plus il nous sera difficile de prédire ce résultat.
C'est le cas des tirages du loto, mais c'est aussi le cas pour la vie d'une personne. Dans ces 2 exemples, les mécanismes mis en jeu sont trop complexes pour nous permettre tout type de prédiction, et ce, même si les conditions présentes nous sont parfaitement connues.

Doit-on en conclure que si le processus est simple, alors nous pouvons nous autoriser des prédictions ?
Le but de cette partie est de répondre à cette question .....

Activité 1 : Stabilité des comportements réguliers

Pour étudier la stabilité d'un processus, nous allons nous poser la question suivante : “Le comportement de la suite est-il fortement modifié si l’on modifie légèrement la valeur initiale U0 de la suite ? ”

Pour le savoir, je vous propose de reprendre la suite logistique étudiée dans la partie A.

Vous considèrerez tour à tour les valeurs de a suivantes (a = 0,5    a = 1,5    a = 2,3    a = 3    a = 3,5     a = 4,1)
Pour chacune de ces valeurs, prenez U0 = 0,6 puis effectuez une légère modification de U 0.
Vous pourrez prendre tour à tour les valeurs de U0 suivantes :

Constatez-vous des modifications importantes du comportement de la suite ? ....

Activité 2 : Stabilité du Chaos : L’effet papillon !
 

Introduction :

Edward Lorenz, travaillant au M.I.T. (Massachusetts Institute of Technology) fut un des premiers météorologues ayant essayé à simuler la météo sur ordinateur. Conscient des difficultés de la prédiction météo, il y trouvait cependant un intérêt mathématique, à savoir la preuve de la promesse de NEWTON, selon laquelle le monde suivait une trajectoire déterministe. Bien qu'avec son ordinateur primitif il avait réduit l'atmosphère à sa plus simple expression, la simulation des vents et des températures se comportait comme sur terre. Un jour d'hiver 1961, au lieu de reprendre au début l'exécution de son programme, Lorenz prit un raccourci : il commença en mi-chemin. Après avoir entré les conditions initiales, il allait boire une tasse de café ; quand il revint une heure plus tard, il aperçut quelque chose d'inattendu, quelque chose qui allait engendrer une nouvelle science.
Entre les résultats antérieurs et ce nouveau résultat, issu d'un point de départ légèrement différent, il n'y avait plus aucune ressemblance ! Lorenz comprit très vite : tout avait bien fonctionné, le problème se trouvait dans les nombres qu'il avait tapés ; l'ordinateur gardait en mémoire 6 chiffres dont 3 décimales seulement apparaissaient à l'impression pour économiser de la place. Ayant entré des nombres arrondis, en supposant que la différence (un pour un millier) serait sans conséquences, les petites erreurs se révélaient être catastrophiques. Ainsi une petite erreur numérique (un léger souffle de vent) suffisait pour rendre impossible toute prévision de la météo. Lorenz a réalisé que tout système physique ayant un comportement non périodique, était imprévisible. Apparut alors la notion d'effet papillon, selon laquelle le battement des ailes d'un papillon à Hong Kong pouvait donner naissance à un orage à New York.

Nous avons vu dans l'activité précédente que les suites régulières (convergentes, périodiques ...) étaient très stables. En effet, si l’on modifie légèrement la condition initiale U0, le comportement de la suite n’est pas modifié.
En est-il de même lorsque la suite est chaotique ? ....

Pour le savoir, il suffit de prendre une suite chaotique et de faire l’expérience ....

Considérons la suite logistique.

Prenez U0 = 0,6 et choisissez une valeur de “a” pour laquelle la suite admet un comportement chaotique.

Observez et décrivez ce qui se passe si :

Dans le cas du satellite de Saturne, Hypérion, pouvez-vous maintenant expliquer pourquoi il est impossible pour les astrophysiciens de prévoir sa position au bout de quelques années ? ...
 

Citation d’Henri Poincaré : " Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les dernières. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit... Une cause très petite qui nous a échappé, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard "  

Finalement, répondez à la question suivante :

Question : "Quelles peuvent-être les raisons de l'imprédictabilité d'un événement ? "
Pascal Delahaye : Lycée Climatique - Villard de Lans (38) / imel@ac-grenoble.fr / 26 mars 1999