Méthode pour déterminer le signe d'une expression algébrique.

Introduction

Ce document doit permettre aux élèves de s'approprier par eux même les méthodes pour déterminer le signe d'une expression algébrique. Les méthodes sont présentés puis des exercices d'application sont proposés.

I] Signe d'une expression algébrique de la forme (ax + b)

Partons d'un exemple :

Question :

Remarque : 2x + 3 est bien de la forme : ax + b ! ! !

Solution :

1 : Pour quelle valeur de x l'expression algébrique 2x + 3 est nulle ?

Autrement dit : "Cherchons x tel que 2x + 3 = 0"

Il suffit de résoudre l'équation : 2x + 3 = 0 soit 2x = -3

D'où la réponse : x = -3/2

2 : Que se passe-t-il si x est plus petit que -3/2 ?

Prenons des valeurs de x plus petites que -3/2 ( par exemple : -2, -3, -5 ...) ! !

On constate qu'alors, 2x + 3 est toujours négatif !
Ceci est une constatation ! ! ... Pas une démonstration ! ! ! ! .....

3) Que se passe-t-il si x est plus grand que -3/2 ?

Prenons des valeurs de x plus grandes que -3/2 ( par exemple : -1, 0, 1 ....) ! !

On constate que dans ce cas, 2x + 3 est toujours positif !
Ceci est une constatation ! ! ... Pas une démonstration ! ! ! ! .....

4) On peut alors résumer nos constatations dans le tableau suivant :

Ce tableau signifie que :

si x < -3/2 alors 2x + 3 < 0

si x = -3/2 alors 2x + 3 = 0

si x > -3/2 alors 2x + 3 > 0

Comment faire dans les exercices ?

Il vous suffira de suivre le modèle suivant :

Exemple :

Solution :

Etape 1 : on résout l'équation -3x + 5 = 0 ! ! !

-3x + 5 = 0
-3x = -5

x = 5/3

Etape 2 : on remplit le tableau...

Comment savoir où mettre le signe + et le signe - ?

On peut retenir la règle suivante :

Dans l'expression ax + b :

"Si a est positif alors on a :

"Si a est négatif alors on a :

Déterminez le signe des expressions algébriques suivantes :

A = 3x + 1 B = -2x -2 C = 4x + 2 D = -3x + 2

E = 1 - 2x F = (2/3)x + 1 G = -2 + 4x H = (5/4) - 2x

Vous donnerez la solution sous la forme d'un tableau de signes pour chacune de ces expressions.

II] Signe d'une expression algébrique de la forme (ax + b)(cx +d)

Règle :

Pour trouver le signe d'un produit, il suffit de connaître le signe de chacun de ses facteurs !

Soit P un produit de deux facteurs : P = a.b (avec a et b des réels non nuls)

SI :

a et b sont de même signe alors P > 0

a et b sont de signe contraire alors P < 0

Un premier exemple :

Solution :

D'après la règle précédente , pour trouver le signe de P(x), il suffit de connaître les signes des deux facteurs :

(4x - 1) et (2 - 3x)

Signe de (4x - 1) :

Signe de (2 - 3x) :

Signe de (4x - 1)(2 - 3x) :

On remplit un "tableau de signes" regroupant les résultats précédents :

Conclusion :

Les résultats obtenus se lisent de la façon suivante :

P(x) est strictement négatif lorsque : x appartient à l'ensemble ]- ; 1/4[ U ]2/3 ;+ [

P(x) est strictement positif lorsque : x appartient à l'intervalle ]1/4 ; 2/3[ :

P(x) est nul lorsque : x = 1/4 ou x = 2/3 :

Observez le tableau de signe précédent et répondez aux questions suivantes :

à quoi correspondent les valeurs que l'on trouve dans la première ligne du tableau ?
que signifient les deux "0" dans la ligne correspondant à P(x) ?
pourquoi y a-t-il un "-" de part et d'autre de ces deux "0" ?
que pouvez-vous dire du signe de P(x) lorsque x = 5/4 ?
que pouvez-vous dire du signe de chacun des facteurs et de P(x) lorsque x = 2/3 ?

Déterminez le signe des expressions algébriques suivantes :

A = (2x + 1)(-2x +2)
B = (-5x + 2)(-3x + 2)
C = (1 - 2x)(x + 1)
D = (-2x + 4)(4 - 3x)

Vous donnerez la solution sous la forme d'un tableau de signes pour chacune de ces expressions.

III] Que faire si P est un produit de plus de 2 facteurs ?

Comme pour un produit de 2 facteurs, la méthode consiste à construire un "tableau de signe" .
Dans ce tableau, on fera apparaître chacun des facteurs.

Exemple :

On obtient le tableau suivant :

Conclusion :

Les résultats se lisent de la façon suivante :

P(x) est strictement négatif lorsque : x appartient à l'ensemble : ]- ; - 1/2[ U ]0 ; 2/3[

P(x) est strictement positif lorsque : x appartient à l'ensemble ]- 1/2 ; 0[ U ]2/3 ; +[

P(x) est nul lorsque : x est égal à -1/2 ; 0 ou 2/3

Déterminez le signe des expressions algébriques suivantes :

A = (3x + 1)(4x + 2)(-3x + 2)
B = (1 - 2x)(x + 1)(-2 + 4x)

Vous donnerez la solution sous la forme d'un tableau de signes.

IV] Signe d'un quotient

Pour trouvez le signe d'un quotient, il faut :

factoriser le numérateur et le dénominateur.
construire un tableau de signes faisant apparaître tous les facteurs.

Exemple :

Tableau de signe :

Observez le tableau de signe précédent et répondez aux questions suivantes :

à quoi correspondent les valeurs que l'on trouve dans la première ligne du tableau ?
que signifient les deux "0" dans la ligne correspondant à Q(x) ?
que signifie le "+" compris entre les deux "0" de la ligne correspondant à Q(x) ?
que pouvez-vous dire du signe de Q(x) lorsque x = 5/4 ?
que pouvez-vous dire de chacun des facteurs et de Q(x) lorsque x = 2/3 ?
trouvez le signe de Q(x) en fonction des valeurs de x !

Déterminez le signe des expressions algébriques suivantes :

Vous donnerez la solution sous la forme d'un tableau de signes.

Méthode :

Résoudre l'équation (3x + 2)x > 0, c'est trouver les valeurs de x telles que l'expression (3x +2)x soit strictement positive.

On construira donc le tableau donnant le signe de (3x +2)x et on en déduira les valeurs de x pour lesquels cette expression est strictement positive .......

L'ensemble des solutions sera donné sous la forme :

S = ]- ; -2/3[ U ]0 ; +[

Résoudre les inéquations suivantes en utilisant les méthodes vues précédemment pour étudier le signe d'une expression algébrique.

Résoudre :

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Pascal Delahaye : Lycée Climatique - Villard de Lans (38) / imel@ac-grenoble.fr / 29 septembre 1998