Brevet des collèges 1996

Académie d'Orléans-Tours

Problème

Partie I

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Pour le représenter on choisira 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
On considère les droites d et d' suivantes :
d d'équation y = 18x
d' d'équation y = - 6x + 120.

1) Afin de tracer d et d', répondre aux questions suivantes :

a) Soit P le point de d d'abscisse 5. Calculer son ordonnée.
b) Soit Q le point de d d'ordonnée 180. Calculer son abscisse.
c) Soit R le point de d' d'ordonnée 120. Calculer son abscisse.
d) Soit S le point de d' d'abscisse 10. Calculer son ordonnée.

2) Dans le repère décrit au début de la partie I construire d et d'. (On utilisera une feuille de papier millimétré.)

Partie II

On considère le prisme droit ABCFDE dont la base est un triangle ABC rectangle en A.
L'unité étant le centimètre, on donne : AB = AD = 6 et AC = 5.

Calculer le volume W de ce prisme, exprimé en cm³.

Partie III

On considère le parallélépipède rectangle ABEDLGHK représenté ci-contre.
Dans ce parallélépipède, on considère le prisme droit ABMNDE dont la base est le triangle rectangle ABM.
L'unité étant le centimètre, on pose :
AB = AD = 6
AG = 10
AM = x
x étant un nombre compris entre 0 et 10.

1) Calculer, en cm³, le volume U du parallélépipède rectangle ABEDLGHK.

2)
a) Calculer, en fonction de x, le volume V du prisme ABMNDE.
b) Vérifier que pour x = 5, ce volume vaut 90.

3) Expliquer pourquoi le volume V' du parallélépipède tronqué GHKLNMBE est donné par la formule V' = 360 - 18x.

4) Pour quelle valeur du nombre x a-t-on ? Que vaut alors V ?

5) En observant que, pour x variant de 0 à 10, la représentation graphique de V est une partie de d et que celle de est une partie de d', retrouver ainsi graphiquement la valeur de x pour laquelle . (Tracer sur le graphique les pointillés nécessaires.)

Martine Désigaux : Collège Jules Flandrin - Corenc (38) / imel@crdp.ac-grenoble.fr / 29 septembre 1998