Brevet des collèges 1996

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, I, J). On choisit le centimètre pour unité sur les deux axes.

1°)
a- Placer les points B (2 ; 4) et D (-4 ; 2).
b- Donner, par lecture graphique, les coefficients directeurs respectifs des droites (OB) et (OD).
c- Démontrer que OB = OD = 2 .
d- Quelle est la nature du triangle DOB ?
2°) On projette orthogonalement B en A sur l'axe des abscisses et en C sur l'axe des ordonnées. De même, E et F sont les projetés orthogonaux de D sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.
a- Par lecture graphique, donner les coordonnées de A, C, E et F.
b- Déterminer par le calcul l'équation de la droite (AF).
c- Pourquoi la droite (EC) a-t-elle pour équation y = x + 4 ?
d- En déduire que les droites (EC) et (AF) sont perpendiculaires.
3°) Les droites (EC) et (AF) se coupent en K.
a-Calculer les coordonnées de K.
b- Démontrer que K est le milmieu de [DB].
c- Quelle est la mesure exacte de l'angle ? Justifier votre réponse.
d- En déduire que le triangle EKA est rectangle et isocèle.
4°) Démontrer que les points D, E, O, K appartiennent à un même cercle dont on précisera les coordonnées du centre et la mesure en centimètres du rayon.
5°) On considère la rotation de centre O qui transforme I en J. Quelle est dans cette rotation l'image du rectangle OABC ? Justifier votre réponse.

Martine Désigaux : Collège Jules Flandrin - Corenc (38) / imel@crdp.ac-grenoble.fr / 29 septembre 1998