Brevet des collèges 1996

Académie de Clermont-Ferrand

Problème

L'unité de longueur est le centimètre.

Partie I

On considère un triangle isocèle SBC tel que : SB = SC = 5 et BC = 6.
La hauteur issue de S coupe le segment [BC] en I.

1) Faire une figure que l'on complètera dans la question 4.

2) Démontrer que SI = 4.

3) Calculer l'aire, en cm², du triangle SBC.

4) On note I' le point du segment [SI] tel que :

Par I', on trace la parallèle à la droite (BC) ; elle coupe les droites (SB) et (SC) respectivement en B' et C'. Le triangle SB'C' est donc une réduction du triangle SBC.

a- Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication.)
b- En déduire l'aire, en cm², du triangle SB'C'.

Partie II

On considère une pyramide régulière SABCD de sommet S et à base carrée telle que : AB = 6 et SB = 5.
(Voir figure ci-après. Ne pas la refaire.)
La hauteur de la pyramide est [SH]. On fera les deux figures demandées dans cette partie sur une feuille de papier millimétré.

1) Tracer, en vraie grandeur, la base ABCD de la pyramide et placer précisément le point H sur le dessin.

2) Tracer, en vraie grandeur, (sans calculer HB mais en utilisant la figure précédente), le triangle SHB rectangle en H.

3) Quelle est la nature du triangle SBC ? (on précisera les longueurs de ses côtés.)

4) On note I le pied de la hauteur issue de S du triangle SBC et H' le point du segment [SH] tel que : .
On note A', B', C', D' et I' les points d'intersection des droites (SA), (SB), (SC) et (SI) avec le plan passant par H' et parallèle au plan de base ABCD de la pyramide. (Voir figure ci-dessous. Ne pas la refaire.)

a- Quelle est la nature du quadrilatère A'B'C'D' ? (On précisera les longueurs de ses côtés.)
b- Le triangle SBC est le triangle décrit dans la partie I et on a :.
Calculer, en utilisant les résultats de la partie I, l'aire, en cm², du trapèze BB'C'C.
c- En déduire l'aire latérale, en cm², de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans parallèles ABCD et A'B'C'D'.

Martine Désigaux : Collège Jules Flandrin - Corenc (38) / imel@crdp.ac-grenoble.fr / 29 septembre 1998