Brevet des collèges
Année 2009 :
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On considère un triangle ABC tel que AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5 cm.
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
2. Soit P un point du segment [BC].
La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R.
La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S.
Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.
3. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
a. Calculer la longueur PR.
b. Calculer l'aire du rectangle PRSC.
On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l'aire du rectangle PRSC est maximale.
1. L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :
| Longueur BP en cm |
0 |
1 |
3 |
5 |
8 |
10 |
12 |
14 |
| Aire de PRSC en cm2 |
0 |
9,75 |
24,75 |
36 |
18 |
0 |
Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes au tableau.
Justifier par le calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.
2. Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :
Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP
A l'aide d'une lecture graphique, donner :
a. Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm2.
b. La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
c. Un encadrement à 1 cm2 près de l'aire maximale du rectangle PRSC.
1. Exprimer PC en fonction de BP.
2. Démontrer que PR est égale à 0,75 x BP.
3. Pour quelle valeur de BP le rectangle PRSC est-il un carré ?
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| Jean-Luc Juveneton : CRDP de Grenoble / imel@crdp.ac-grenoble.fr / 2 juillet 2009 |